জুনিয়র ক্যাটাগরির প্রস্তুতির জন্য কিছু সমস্যা

১। ax = ay + 2z যেখানে a, x, y, z কতগুলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ayz/(x-y)2 এর সম্ভাব্য সব মানের যোগফল বের করো।

২। ইত্তিহাদ KFC থেকে কিছু চিকেন নাগেট কিনতে চায়। KFC চিকেন নাগেট 4 আর 7 সাইজের প্যাকেজে বিক্রি করে। কতগুলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n ≤ 100 আছে যেন ইত্তিহাদ n সংখ্যক চিকেন নাগেট কিনতে পারবে না?

৩। কতভাবে তুমি 0, 1, 2, … , 9 সংখ্যাগুলো থেকে তিনটা সংখ্যা বাছাই করতে পারো। বাছাইয়ের সময় একই সংখ্যা একাধিকবার বাছাই করা যাবে। যেমন 0, 0, 7 কিংবা 0, 4, 9। কিন্তু কী ক্রমে সংখ্যাগুলোকে বাছাই করছ, সেটা গুরুত্বপূর্ণ নয়। যেমন 4, 0, 9 আর 0, 4, 9 একই বাছাই।

৪। শচীন টেন্ডুলকার প্রতি 7 বলে 2টি কাভার ড্রাইভ মারেন এবং প্রতি 4টি কাভার ড্রাইভে 3টি চার হয়। শচীন টেন্ডুলকার কাভার ড্রাইভ ছাড়া রান করতে পারেন না। কোনো ম্যাচে জেতার জন্য 57 রান দরকার হলে খেলা শেষ হওয়ার ন্যূনতম কত বল আগে শচীনকে ব্যাটিংয়ে নামতে হবে?

৫। মনে করি, কোনো একটি মেশিনে যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা X ইনপুট দিলে তার নিকটবর্তী মৌলিক সংখ্যা দিয়ে গুণ করে গুণফল ও X এর গুণনীয়কগুলো আউটপুট হিসেবে দেখায়। এখন যদি কোনো একটি গুণফল আউটপুট হিসেবে 783 দেখায়, তাহলে X এর সব গুণনীয়কের যোগফল নির্ণয় করো।

৬। একটি পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য 5n + 16 এবং 8n + 29 এর 1 অপেক্ষা বড় একটি সাধারণ উৎপাদক রয়েছে। সাধারণ উৎপাদকের মান কত?

৭। একটি ঝুড়িতে কয়েকটি আম ও আপেল রাখা আছে। ঝুড়ির ফলগুলো শিশুদের দিতে হবে। প্রতিজনকে 4টি করে দিলে কোনো ফল অবশিষ্ট থাকে না। কিন্তু প্রতিজনকে 5টি করে দিলে, 1টি ফল অবশিষ্ট থাকে। যদি প্রথমে আম থাকে 15টি এবং মোট আমের সংখ্যা আপেলের চেয়ে বেশি হয়, তবে ঝুড়িতে মোট কতটি ফল ছিল?

৮। △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, যার বাহুর দৈর্ঘ্য 20 একক। A কে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তচাপ আঁকা হলো, যার ব্যাসার্ধ 5 একক। চাপটি AB ও AC কে যথাক্রমে B’ ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে। একটি 1 একক ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার চাকা যদি BB’C’C সম্পূর্ণ পথ অতিক্রম করে, তাহলে কতবার চাকাটি ঘুরবে?

৯। প্রত্যয় ও পায়েল দুজনের কাছে দুটি সংখ্যা যথাক্রমে n ও m আছে, যেখানে n > m. প্রতিদিন প্রত্যয় তার সংখ্যাটিকে 2 দিয়ে গুণ করে 2 বিয়োগ করে, আর পায়েল তার সংখ্যাটিকে দিয়ে 2 গুণ করে 2 যোগ করে। অর্থাৎ প্রথম দিন তাদের সংখ্যা দুটি হবে যথাক্রমে 2n - 2 এবং 2m - 2 । এমন ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা x প্রমাণসহ নির্ণয় করো যেন n – m ≥ x হলে প্রতিদিনই প্রত্যয়ের সংখ্যা পায়েলের সংখ্যার চেয়ে বড় হবে।

১০। সিনথিয়া পোকেমন পছন্দ করে এবং সে পারলে সব কটি পোকেমনই ধরতে চায়। জয়ের রাস্তায় মোট 110টি পোকেমন আছে। এসব পোকেমনের মধ্যে যত বেশি সম্ভব পোকেমন ধরতে চায় সিনথিয়া। কিন্তু সে এমন দুটো পোকেমন কখনোই ধরতে পারবে না, যারা পরস্পর শত্রু। কিছুক্ষণ ঘুরে বেড়ানোর পর সে নিচের দুটো জিনিস বুঝতে পারল।

1. জয়ের রাস্তার প্রতিটি পোকেমনেরই ঠিক দুটো শত্রু আছে।

2. যেহেতু সে পরস্পর শত্রু এমন দুটো পোকেমন কখনোই ধরতে পারবে না, তাই সে যতই চেষ্টা করুক না কেন, জয়ের রাস্তায় সে সর্বোচ্চ nটি পোকেমন ধরতে পারবে।

n এর সম্ভাব্য সব মানের যোগফল কত?