চোখের নিমেষে বর্গ করো

• গুণে ৫-এর যত কারিকুরি

বর্গ নিয়ে আগের একটি পর্বে ধারণা দিয়েছি। কিন্তু কীভাবে সহজে বর্গ করবে, তা দেখাইনি। আজ দেখাব বর্গের সহজ কৌশল। যেকোনো দুই অঙ্কের সংখ্যার বর্গ করা যাবে এই কৌশলে। তার আগে বর্গ নিয়ে একটু ধারণা দেওয়া দরকার।

কোনো সংখ্যাকে ওই সংখ্যা দিয়েই গুণ করলে বর্গ করা হয়। যেমন, ২-কে ২ দিয়ে গুণ করলে হবে ৪। আর ২-এর বর্গ করলেও হবে ৪। বর্গকে ইংরেজিতে বলে স্কয়ার (Square) বা পাওয়ার। বাংলায় একে ঘাতও বলে। বর্গকে ২২ রূপে প্রকাশ করা হয়। যেকোনো সংখ্যার ওপরে ২ লিখলেই বর্গ হয়। আবার ৩ লিখলে ঘন হয়। ঘন নিয়ে পরের একটি পর্বে বিস্তারিত আলোচনা করব।

এখন প্রসঙ্গে ফেরা যাক। সহজে কীভাবে বর্গ করবে? যেমন ধরো, তুমি ২১-এর বর্গ করবে। তাহলে প্রথমে ২-এর বর্গ করতে হবে। মানে দুই অঙ্কের সংখ্যাটির প্রথম অঙ্কের বর্গ করতে হবে। অর্থাৎ ২^২ = ৪। এই ৪ হবে তোমার উত্তরের প্রথম অঙ্ক। অর্থাৎ সমান চিহ্নের ঠিক পরই বসবে ৪। এবার দুই অঙ্কের সংখ্যাটির দ্বিতীয় অঙ্কের বর্গ করতে হবে। আমরা নিয়েছি ২১। সুতরাং আমাদের দ্বিতীয় অঙ্কটি হলো ১। এখন ১^২ = ১। এটি বসবে উত্তরের শেষে। অর্থাৎ আমাদের উত্তর যদি হয় ৪৪১, তাহলে ১ হলো শেষ অঙ্ক। তাহলে আমরা যা উত্তর পাব, তার প্রথম ও শেষ অঙ্ক পেয়ে গেছি। এখন শুধু মাঝখানের অঙ্ক বাকি। অঙ্কটি পেতে হলে যে সংখ্যা বর্গ করব, তার অঙ্কদুটির গুণফলের সঙ্গে ২ গুণ করতে হবে। অর্থাৎ ২×১×২ = ৪। খেয়াল করো, আমরা (২১)^২–এর সমাধান বের করার চেষ্টা করছি। তাহলে এখানে যা যা আছে, তা–ই গুণ করলেই মাঝখানের অঙ্ক পাওয়া যাবে। এখানে আছে ২, ১ ও ২। ব্যস, এই তিন অঙ্কের গুণফল ৪ হবে মাঝখানের অঙ্ক। তাহলে প্রথম অঙ্ক পেয়েছিলাম ৪, শেষের অঙ্ক ১ ও মাঝের অঙ্ক ৪। সুতরাং, আমাদের উত্তর হলো ৪৪১।

খেয়াল করো, ২^২ = ৪ বসালাম প্রথম ঘরে। এরপর ১^২ = ১ বসালাম শেষের ঘরে। আর ২, ১ ও ২ এর গুণফল বসালাম মাঝের ঘরে। একদম সহজ!

এবার ১৩-এর বর্গ করলে কত হবে? মনে মনে করার চেষ্টা করো। প্রথমে ১^২ = ১। আবার ৩^২ = ৯। এরপর মাঝের অঙ্কটি হবে ১×৩×২ = ৬। তাহলে উত্তর হলো ১৬৯। কি, এখন সব দুই অঙ্কের সংখ্যার বর্গ করতে পারবে? আসলে আরও একটু শেখা বাকি আছে।

ধরো, তুমি ৩২-এর বর্গ করবে। তাহলে প্রথমে ৩-এর বর্গ করলে পাবে ৯, ২-এর বর্গ করলে পাবে ৪। আর মাঝখানের অঙ্ক বের করতে ৩, ২ ও ২ গুণ করবে। গুণফল হবে ১২। তাহলে উত্তর দাঁড়াল, ৯১২৪। ৩২-কে ৩২ দিয়ে গুণ করলে কি আসলেই এত বড় সংখ্যা হওয়ার কথা? না। তাহলে সমাধান কী? এটুকুই তোমাদের এখনো শেখা বাকি।

যখন দেখবে মাঝখানের অঙ্কের মান ৯-এর চেয়ে বেশি হয়, তখন একটা কৌশল কাজে লাগাতে হবে। আমাদের উত্তর হয়েছিল ৯১২৪। তুমি এখানে ১২-এর থেকে শুধু ২ রাখবে যথাস্থানে। আর ১ যোগ করে দেবে আগের অঙ্ক অর্থাৎ ৯-এর সঙ্গে। তাহলে ৯ + ১ = ১০। তাহলে উত্তর হবে ১০২৪। এবার মিলিয়ে দেখো, উত্তর ঠিক আছে।

এবার ৬৭^২ করলে কত হবে? ৬^২ = ৩৬, ৭^২ = ৪৯ এবং ৬×৭×২ = ৮৪। তাহলে আমাদের উত্তর দাঁড়াল ৩,৬৮,৪৪৯। এটা অসম্ভব। তাহলে এখন করণীয় কী? চলো ধাপে ধাপে করি।

ধাপ ১: ৪৯-এর ৯ রেখে দেব যথাস্থানে। বাকি ৪-কে আগের ৪-এর সঙ্গে যোগ করব। তাহলে ৪ + ৪ = ৮।

ধাপ ২: এখন ৮৮ থেকে বাকি আছে আর ৮। বাকি ৮-কে যোগ করে দেব বাঁয়ের ৩৬-এর সঙ্গে। অর্থাৎ ৩৬ + ৮ = ৪৪।

ধাপ ৩: তাহলে আমরা পেলাম ৪৪, ৮ ও ৯। অর্থাৎ উত্তর ৪৪৮৯।

এবার বলো তো, ৮৪-কে বর্গ করলে কত হবে? মাথার মধ্যে করার চেষ্টা করো। প্রথমে ৮^২ = ৬৪। তারপর ৪^২ = ১৬ এবং ৮×৪×২ = ৬৪। অর্থাৎ আমরা সাজিয়ে লিখলে পাব ৬৪৬৪১৬। এখন ডানপাশের ৬ রেখে দেব যথাস্থানে। আর ১ যোগ করব ৪-এর সঙ্গে। পেলাম ৫। তাহলে উত্তরের জন্য আমরা ৫ ও ৬ পেয়েছি। এবার ৬৪-এর বাকি ৬-কে যোগ করব ৬৪-এর সঙ্গে। তাহলে পাবো ৬৪ + ৬ = ৭০। অর্থাৎ আমাদের উত্তর হলো ৭০৫৬। মানে ৮৪^২ = ৭০৫৬।

বর্ণনা বড় হলেও তুমি কয়েকবার চর্চা করলে যেকোনো দুই অঙ্কের সংখ্যার বর্গ করতে পারবে কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে। তাই পরের কৌশল শেখানোর আগপর্যন্ত এগুলো চর্চা করতে থাকো। নিচে চর্চা করার জন্য কিছু সমস্যা দিচ্ছি। এগুলো সমাধান করো।

১. ২৩^২ =

২. ৮৯^২ =

৩. ৮১^২ =

৪. ৩৭^২ =

৫. ৯৯^২ =

৬. ২৬^২ =

৭. ৪৫^২ =

৮. ৬৭^২ =

৯. ৭২^২ =

১০. ১৬^২ =

১. ২৩^২ = ৫২৯

২. ৮৯^২ = ৭,৯২১

৩. ৮১^২= ৬,৫৬১

৪. ৩৭^২ = ১,৩৬৮

৫. ৯৯^২ = ৯,৮০১

৬. ২৬^২ = ৬৭৬

৭. ৪৫^২ = ২,০২৫

৮. ৬৭^২ = ৪,৪৮৯

৯. ৭২^২ = ৫,১৮৪

১০. ১৬^২ = ২৫৬