গণিত অলিম্পিয়াড প্রস্তুতি: সেকেন্ডারি

১। মনে করো, n একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটা অনুক্রমকে n এর একটা ডিভিসর চেইন বলা হবে যদি অনুক্রমটার যেকোনো পদ তার ঠিক পরের পদের প্রকৃত উৎপাদক হয় এবং অনুক্রমের শেষের পদটা n হয়। যেমন 2, 6, 12, 60, 600 হলো 600 এর একটা ডিভিসর চেইন। 600 এর কোনো ডিভিসর চেইনের সর্বোচ্চ সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত?

২। ABCD সামান্তরিকের BC বাহুকে এমনভাবে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো যেন C, BE এর মাঝে থাকে। মনে করো, AE রেখাংশ BD এবং CDকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। EG = 169, GF = 30, AF2 = ?

৩। একটা বোর্ডে 144 সংখ্যাটা লেখা আছে। প্রতি ধাপে তুমি বোর্ডে লেখা সংখ্যাকে হয় একটা মৌলিক সংখ্যা p দিয়ে গুণ করতে পারো অথবা একটা মৌলিক সংখ্যা p দিয়ে ভাগ করতে পারো। কিন্তু ভাগ করার ক্ষেত্রে বোর্ডে লেখা সংখ্যাটাকে p দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটা সম্ভাব্য ধাপের ক্রম হতে পারে 144, 72, 24, 8, 40, 120। বোর্ডে 2700 সংখ্যাটা আনতে হলে সর্বনিম্ন কতটা ধাপ লাগবে?

৪। একবার একটি এলিয়েন পৃথিবীতে ঘুরতে এসেছিল। তার প্রতিটি হাতে মাত্র দুটি আঙুল ছিল; তাই সে 0, 1, 2, 3, 4, 5,...কে গোনে 0, 1, 2, 3, 10, 11… হিসেবে। পায়েল এলিয়েনটির বন্ধু হয়ে গেল। সে এলিয়েনটিকে বলল, AB সংখ্যাটিকে এলিয়েনের সংখ্যাপদ্ধতিতে রূপান্তর করতে। এলিয়েনটি সংখ্যা সম্পর্কে খুব দক্ষ ছিল, তাই সে উত্তর দিল, BBB। পায়েল কোন সংখাটি বলেছিল?

৫। দুটি দল ডজবল খেলছে, যেখানে খেলোয়াড়েরা অপর দলের খেলোয়াড়দের গায়ে বল ছুড়ে মারেন। প্রতিটি দল নির্দিষ্টসংখ্যকবার বল ছোড়ার সুযোগ পায়। প্রথমে এক দল তাদের সব কটি বল ছুড়ে দেয়, তারপর অন্য দল। কোনো দল অপর দলের যেকোনো একজন খেলোয়াড়ের গায়ে বল লাগাতে পারলে তারা 2 পয়েন্ট পায়। আবার প্রতিটি টানা পরপর লাগানো বলের জন্যে অতিরিক্ত 3 নম্বর পায়। যদি প্রতিটি দলকে 3 বার বল ছোড়ার সুযোগ দেওয়া হয়, তাহলে একটি দল সর্বোচ্চ কত পয়েন্ট করতে পারবে?

৬। 2, 3,…,100 এভাবে 99টি সংখ্যা দেওয়া আছে। তোমরা 5 জন বন্ধু মিলে সংখ্যাগুলো নিয়ে খেলছ। প্রথমে তুমি 2 এর সব গুণিতক বাদ দিয়ে দাও, এর পরের বন্ধু এসে অবশিষ্ট সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটির সব কটি গুণিতক বাদ দিয়ে দেয়, তারপরের বন্ধু অবশিষ্ট সংখ্যাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির সব কটি গুণিতক বাদ দিয়ে দেয়। এভাবে খেলাটি চলতে থাকে। তোমাদের ভেতর যার কাছে এসে আর বাদ দিয়ে দেওয়ার মতো সংখ্যা থাকবে না, সে খেলাটিতে জিতে যায়। তাহলে খেলাটিতে কততম ব্যক্তি জিতবে?

৭। জামিলের কাছে কিছু বল আছে, যার প্রতিটিতে একটি মৌলিক সংখ্যা লেখা আছে। সংখ্যাগুলোর যোগফলও একটি মৌলিক সংখ্যা। আরও মজার ব্যাপার হলো, যতটি বল আছে, তার পরিমাণও একটি মৌলিক সংখ্যা। জামিলের কাছে উক্ত শর্তে সর্বনিম্ন কতগুলো বল থাকা সম্ভব?

৮। প্রমাণ করো যে সংখ্যাগুলোকে দুটি নিশ্ছেদ সেটে ভাগ করা হলে যেকোনো একটি সেটে এমন পাওয়া যাবে যেন এর সব কটি ভিন্ন না–ও হতে পাারে।

৯। ∆ABC এ ∠BAC সমকোণ। BP ও CQ যথাক্রমে ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক, যা AC ও AB কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। P ও Q থেকে BC এর ওপর দুটি লম্ব PM ও QN আঁকা হলো। ∠MAN এর মান প্রমাণসহ নির্ণয় করো।

১০। ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। ÐBAC এর বহির্দ্বিখণ্ডক BC রেখাকে N বিন্দুতে ছেদ করে। BC এর মধ্যবিন্দু হলো M। P আর Q হলো AN রেখার ওপর এমন দুটো বিন্দু যেন ÐPMN = ÐMQN = 90 ডিগ্রি। যদি PN = 6 আর BC = 4 হয়, তাহলে QA এর দৈর্ঘ্যকে a/b আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে a ও b হলো পরস্পর সহমৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। (a + b) এর মান কত?