প্রস্তুতির জন্য কিছু সমস্যা

১। প্রতিবছর একটা শহরের গণিত অলিম্পিয়াডে প্রতিযোগীর সংখ্যা 140 করে বাড়ে। কিন্তু প্রতি পঞ্চম বছরে প্রতিযোগীর সংখ্যা 140 না বেড়ে 160 করে বাড়ে। এই অলিম্পিয়াডে 2020 সালে প্রতিযোগীর সংখ্যা ছিল 1800। আর 2019 সালে প্রতিযোগীর সংখ্যা ছিল 1640। 2050 সালে এই অলিম্পিয়াড তার সুবর্ণজয়ন্তী (50 বছর পূর্তি) পালন করবে। এই সুবর্ণজয়ন্তীতে অলিম্পিয়াডের প্রতিযোগীসংখ্যা কত হবে?

২। মুরসালিন (x + y)/z এর মান বের করতে গিয়ে ভুলে x + y/z এর মান বের করে দেখল 12 আসে। বৃষ্টিও একই কাজ করতে গিয়ে ভুলে y + x/z এর মান বের করে দেখল 9 আসে। যদি (x + y)/z এর আসল মান 7 হয়, তাহলে (x + y + z) এর মান কত?

৩। কতগুলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n আছে যেন 2036-কে n দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 12 হয়?

৪। x + y + z + w = 16 যেখানে x, y, z, w প্রতিটি জোড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। কতগুলো ভিন্ন ভিন্নভাবে x, y, z, w কে মান দেওয়া যায়?

৫। একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। বাক্সে আটটি ছক্কা চমৎকারভাবে এঁটে যায়। বাক্সের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ, প্রস্থ 11 গুণ ও উচ্চতা অর্ধেক করা হলে নতুন বাক্সে কতটি ছক্কা আঁটবে?

৬। একটি ছয় পৃষ্ঠবিশিষ্ট ছক্কায় 1 থেকে 6—এই ছয়টি অঙ্ক এমনভাবে লেখা আছে যেন যেকোনো একটি পৃষ্ঠ এবং তার অপর পৃষ্ঠের সংখ্যার যোগফল 7 হয়। দুটি একই রকম ছক্কা পাশাপাশি রয়েছে। পিঠে পিঠ ঠেকানো। তোমার দিক থেকে এই দুই ছক্কার চারটা পিঠ দেখা যাচ্ছে। উপরে যথাক্রমে 2 ও 3 পাশাপাশি। পাশে 1 আর 6 পাশাপাশি। যে দুটি পৃষ্ঠ একে অপরের সঙ্গে স্পর্শে রয়েছে, এদের যোগফল কত?

৭। নাজিয়া আপুর শখ, চকলেট খেয়ে চকলেটের প্যাকেট জমা করা। আপু পরপর ছয় দিনে মোট 78টি চকলেটের প্যাকেট জমা করলেন। আপু আগের দিন যে পরিমাণ চকলেট খেয়েছেন, পরদিন তার চেয়ে চারটি চকলেট বেশি খেতেন। ষষ্ঠ দিনে আপু মোট কতটি চকলেট খেয়েছিলেন?

৮। a, b দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেন এদের মধ্যে কমপক্ষে একটি পূর্ণবর্গ হয়। এদের লসাগু (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) 72 হলে এমন কতগুলো a, b রয়েছে, যেখানে (x,y) এবং (y,z) ভিন্ন? একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা, যাকে দুটি একই সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যায়। যেমন 25=5×5, 81=9×9, 1×1=0।

৯। প্রমাণ কর যে x4 - y4 = x3 + x×y2 - 26 হলে x, y উভয়েই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে পারে না। এখানে যেকোনো সংখ্যা z এর জন্য z4 = z × z × z × z বোঝায়, z3 = z × z × z বোঝায় এবং z2 = z × z বোঝায়।

১০। সমুদ্রের কাছে একটা টেবিলের ওপর Nটি গ্লাসের বাক্স আছে, যেখানে N < 2021। বাক্সগুলোর প্রতিটিতেই ঠিক 2021টি করে বল আছে। সৌধ আর রাফি একটা খেলা খেলছে, যেখানে সৌধ প্রথম চাল দেয়। কোনো চালে একজন যেকোনো একটা বলসহ বাক্স বাছাই করে এবং তারপর বাক্সটা থেকে এক বা তার চেয়ে বেশিসংখ্যক বল বের করে সমুদ্রে ফেলে দেয়। কেউ চাইলে একটা বাক্স বাছাই করে তার সব কটা বলই ফেলে দিতে পারে। এই খেলায় যে সবার শেষের বলটা ফেলতে পারে, সে জেতে। N এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য সৌধর এই খেলায় একটা জেতার কৌশল আছে, তাদের যোগফল S। N এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য রাফির এই খেলায় একটা জেতার কৌশল আছে, তাদের যোগফল R। (R-S)/10এর মান কত?