মিলিয়ন ডলারের গণিত!

জটিল জটিল সমস্যা সমাধানের একটা মজা আছে। সমাধানের উপায় খুঁজতে গিয়ে অনেকে নাকি মাথার চুলও ছিঁড়ে ফেলেন। অবশ্য সফল হলে সে আনন্দের তুলনা হয় না। কিন্তু এমন কিছু গাণিতিক সমস্যা আছে যার সমাধান করলেই মিলবে পুরো মিলিয়ন ডলারের পুরস্কার! ফার্মার শেষ উপপাদ্যের কথা নিশ্চয় মনে আছে? আহ্, সেটি তো প্রমাণ হয়েই গেছে! কিন্তু এখনো পড়ে রয়েছে হাজারটি জটিল সমস্যা। আর সেসব সমস্যা সমাধানে সবাইকে উৎসাহিত করতে যুক্তরাষ্ট্রের ক্লে ম্যাথমেটিকস ইনস্টিটিউট ২০০০ সালে একটি পুরস্কার ঘোষণা করে। সংস্থাটি মোট সাতটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা বাছাই করে। এর যেকোনো একটির সমাধান করতে পারলেই মিলবে ১ মিলিয়ন ডলারের (প্রায় ৮ কোটি টাকা) পুরস্কার। এর মধ্যে রুশ গণিতবিদ গ্রেগরি পেরেলম্যান ২০০৩ সালেই ‘পয়েনকেয়ার অনুমান’ প্রমাণ করে ফেলেছেন। বাকি আছে এখনো ছয়টি সমস্যা। চলো দেরি না করে আগে সমস্যাগুলো সম্পর্কে ভালোমতো জেনে নিই। তারপর না হয় সমাধানের চেষ্টা করো একবার।

একটি সমস্যা সমাধানের সময় কম্পিউটারকে অনেকগুলো ধাপে কিছু হিসাব-নিকাশ করতে হয়। এই প্রক্রিয়াকে বলে অ্যালগরিদম। কোনো সমস্যা সমাধান করতে অ্যালগরিদমের ধাপসংখ্যা যত বেশি হবে, সেটি সমাধানে কম্পিটারের তত বেশি সময় লাগবে। কিছু সমস্যা সমাধান করা কম্পিউটারের জন্য বেশ সহজ। কারণ, এ ক্ষেত্রে অ্যালগরিদমের ধাপসংখ্যা অনেক কম থাকে। এগুলোকে বলে পলিনোমিয়াল সমস্যা বা P সমস্যা। আবার কিছু সমস্যা সমাধানে কম্পিউটারের জন্য খুবই কঠিন। কারণ, এগুলো করতে হলে কম্পিউটারকে অনেক ধাপে কাজটি করতে হয়। এগুলোকে বলে নন-ডিটারমিনিস্টিক পলিনোমিয়াল সমস্যা বা NP সমস্যা।

P সমস্যার জন্য অ্যালগরিদমের ধাপ হয় n² সংখ্যক আর NP সমস্যার জন্য তা হয় 2ⁿ সংখ্যক। এখন n-এর মান হিসেবে আমরা যদি ১০০ বসাই তাহলে P-এর জন্য মাত্র ১০০০ ধাপের অ্যালগরিদম করতে হবে, আর NP-এর জন্য লাগবে ২^১০০ অর্থাৎ ২-এর পর ১০০টি শূন্য দিলে যে সংখ্যা হয় সেই সংখ্যক। তাহলে বুঝতেই পারছ, একটু বড় ধরনের ইনপুটের জন্য NP টাইপের সমস্যার সমাধান করাটা একরকম অসম্ভব। আমরা যদি বড় কোনো NP সমস্যা দিয়ে পৃথিবীর সব থেকে বড় সুপার কম্পিউটারকেও কাজে লাগিয়ে দিই, তবে মিল্কিওয়ে গ্যালাক্সির আয়ু শেষ হয়ে যাবে, তবু সমস্যা সমাধান হবে না। কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা জানেন যে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করাটা NP টাইপের সমস্যা, আর এ কারণেই এটি করতে কম্পিউটারের প্রচুর সময় লাগে। ফলে এই বিষয়টিকে কাজে লাগিয়েই যাবতীয় কম্পিউটার নিরাপত্তাব্যবস্থা তৈরি করা হয়।

এবার মূল বিষয়ে আসি। P সমস্যাগুলো কম্পিউটার দ্রুত সমাধান করতে পারে আর NP সমস্যার কোনো সমাধান সঠিক কি না তা কম্পিউটার যাচাই করতে পারলেও সমাধান করতে পারে না। ফলে বলা যায় সব P সমস্যাই NP সমস্যা (কারণ, সমাধান করতে পারলে যাচাই করার জন্য শুধু মিলিয়ে নিলেই হয়)। কিন্তু কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের প্রশ্ন হলো, কোন NP সমস্যার কি P সমস্যার মতো সহজ সমাধান আছে? অনেকেই মনে করেন নেই। কিন্তু কেউই নিশ্চিত করে কিছু বলতে পারছেন না। যদি সত্যি তা থেকে থাকে, তবে তার জন্য আমরা প্রচুর সময় নষ্ট করতে পারি। আর একবার সেই সমাধান পেয়ে গেলে রাতারাতি পৃথিবীর চেহারাই বদলে যাবে।

মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে সবাই কমবেশি জানে। যে সংখ্যাগুলোকে ১ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না তারাই মৌলিক সংখ্যা। যেমন: ৩, ৫, ৭,১৩, ৫৩, ১০৩৩ ইত্যাদি। এ সংখ্যাগুলোকে মৌলিক বলার কারণ হলো এদের অন্য কোনো সংখ্যার গুণফল আকারে লেখা যায় না। কিন্তু মৌলিক সংখ্যা ছাড়া যেকোনো সংখ্যাকেই বিভিন্ন সংখ্যার গুণফল আকারে লেখা যায়। যেমন ৩ X ২ = ৬ অর্থাৎ ৩টি ২ মিলে ৬ হয়। ফলে ৬ কোনো মৌলিক সংখ্যা নয়।

এখন যদি তোমাকে কেউ প্রশ্ন করে, মৌলিক সংখ্যা কি অফুরন্ত নাকি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার পরে আর মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যাবে না? আমাদের জানা সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা হলো ২^{৭৪২০৭২৮১} - ১। এত বড় সংখ্যা হওয়া সত্ত্বেও ১ ছাড়া কোনো সংখ্যা দিয়েই একে ভাগ করা যাবে না। মৌলিক সংখ্যা যে অসীম, সেটা ইউক্লিডই প্রমাণ করে গেছেন। কিন্তু প্রশ্ন হলো, মৌলিক সংখ্যার ধারাবাহিকতার মধ্যে কি কোনো যোগসূত্র আছে? উদাহরণস্বরূপ ১০ থেকে ছোট এমন মৌলিক সংখ্যা ৪টি, কিন্তু ১০০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যা আবার ২৫টি। আরও বড় সংখ্যার দিকে এগোতে থাকলে মনে হবে যেন এর কোনো ধারাবাহিকতা নেই। কিন্তু জার্মান গণিতবিদ ফ্রেডরিখ বার্নাড রিম্যান এক গবেষণাপত্রে কোনো সংখ্যার চেয়ে ছোট কতগুলো মৌলিক সংখ্যা আছে তা নির্ণয়ের একটি চমৎকার পদ্ধতি আবিষ্কার করেন। তিনি এতে ব্যবহার করেন সংখ্যার জগতের রহস্যময় জটিল সংখ্যা। কম্পিউটার সিমুলেশনের সাহায্যে পরীক্ষা করে অনেক বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে রিম্যানের অনুকল্পকে পরীক্ষা করে দেখা গেছে, তার ফলাফল আর কম্পিউটারের ফলাফল খুব কাছাকাছি। ১০০ কোটির নিচের সব সংখ্যার জন্য রিম্যানের ফলাফল কম্পিউটার থেকে পাওয়া ফলাফলের থেকে মাত্র ২১টি বেশি। কিন্তু সমস্যা হলো সংখ্যা তো অসীম। তাই এভাবে তো আর কোনো কিছু প্রমাণ করা যায় না। এগুলো প্রমাণ করতে হয় থিওরেম বা উপপাদ্যের সাহায্যে। কিন্তু রিম্যানের পদ্ধতি সঠিক কি না, তা এখন কেউ সেভাবে প্রমাণ করতে পারেনি।

একটি জ্যামিতিক আকৃতিকে বীজগণিতের ভাষায় প্রকাশ করার চেয়ে মজার ব্যাপার আর কীই-বা হতে পারে, তাই না? স্কুলে গণিত বইয়ে আমরা সরলরেখা ও বৃত্তের সমীকরণ শিখেছিলাম। y = mx+c হলো সরলরেখার সমীকরণ আর (x-a)² + (y-b)² = r² হলো বৃত্তের সমীকরণ। তবে আসল আশ্চর্যের ব্যাপার কি জানো? এবার একটি বৃত্তকে একটি সরলরেখা ছেদ করলে কী ঘটে তা যদি তুমি দেখতে চাও, তবে একটি বৃত্তের ওপর একটি সরলরেখা এঁকেও দেখতে পারো। আবার এই দুটি সমীকরণ বীজগাণিতিকভাবে তুলনা করেও সেটা করতে পারো। দুভাবেই তুমি একই উত্তর পাবে। কিন্তু গণিতবিদেরা শুধু সরলরেখা আর বৃত্ত নিয়েই পড়ে থাকার পাত্র নন। তাঁরা এসব সমীকরণ ব্যবহার করে এমনসব জ্যামিতিক আকৃতি সৃষ্টি করলেন, যার মধ্যে কিছু কিছু আমরা মস্তিষ্কে দৃশ্যমান করতে পারি এবং জ্যামিতিক আকৃতি হিসেবে সেগুলো আঁকতেও পারি। কিন্তু তাঁরা এমন কিছু আকৃতিও সৃষ্টি করলেন, যাদের মাত্রা তিন মাত্রার থেকে বেশি। ফলে এগুলো আমাদের মস্তিষ্ক কল্পনা করতে পারে না, ফলে সেগুলো আঁকাও সম্ভব নয়। যেসব আকৃতিতে আমরা মস্তিষ্কের সাহায্যে দৃশ্যমান করতে পারি না তেমন আকৃতিগুলোকে বলা হয় ‘বীজগাণিতিক চক্র’। আর এসব চক্রের মধ্যে যেগুলো জ্যামিতিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ আচরণ করে তাদের বলা হয় ম্যানিফোল্ড (Manifold) বা বহুধা। মহাবিশ্বের স্থানের জ্যামিতি ও স্ট্রিং থিওরির মতো জটিল পদার্থবিদ্যার তত্ত্বে ম্যানিফোল্ডের ধারণা খুব গুরুত্বপূর্ণ।

এখন সমস্যার বিষয়ে আসি। আমরা যদি কোনো ম্যানিফোল্ডের মধ্যে একটি ইচ্ছামতো জ্যামিতিক আকৃতি আঁকি তবে সেটা পরিবর্তিত হয়ে যায়। আর এটা কেউই নিশ্চিত প্রমাণ করতে পারেননি যে সেই পরিবর্তিত আকৃতিটিকে একটি বীজগাণিতিক চক্রের সাহায্যে বর্ণনা করা যাবে কি না। স্কটিশ গণিতবিদ ডগলাস হজ এসব ম্যানিফোল্ডের ভেতর আঁকা কোন আকৃতিকে কেমন বীজগাণিতিক চক্রের সাহায্যে কীভাবে ব্যাখ্যা করা হবে সে বিষয়ে একটি বিখ্যাত ধারণা দিয়েছেন। কিন্তু তার পদ্ধতি সঠিক কি না, তিনি এবং এ পর্যন্ত কেউই তা প্রমাণ করতে পারেনি।

তোমরা অনেকেই x² + y² = z²-এর মতো বীজগাণিতিক সমীকরণের সঙ্গে পরিচিত। এসব সমীকরণ থেকে কীভাবে x, y, z -এর মান বের করতে হবে, গণিতবিদ ইউক্লিড প্রায় আড়াই হাজার বছর আগেই তার পূর্ণ সমাধান দিয়ে গেছেন। কিন্তু সমীকরণ যখন আরও অনেক জটিল হয়ে যায় তখন এগুলো সমাধান করা প্রায় অসম্ভব হয়ে দাঁড়ায়। ১৯৭০ সালে ইউ ভি ম্যাটিয়াস্যাভেচ দেখান যে পূর্ণ সংখ্যার সমাধানের ক্ষেত্রে হিলবার্টের ১০ নম্বর সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের জানা কোনো পদ্ধতিই কাজ করে না। অর্থাৎ সমস্যাটি সমাধানযোগ্য নয়। কিন্তু গণিতবিদ ও বিজ্ঞানীরা তো আর বসে থাকার পাত্র নন। দেখা গেল বিশেষ ক্ষেত্রের জন্য কিছু আশা আছে। ১৯৬০-এর দিকে ব্রায়ান জন বার্চ ও পিটার সুইনাটন-ডায়ার কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের EDSAC কম্পিউটার ব্যবহার করে উপবৃত্তাকার বক্ররেখাকে ব্যাখ্যাকারী এক সেট জটিল সমীকরণকে ব্যাখ্যার জন্য উপায় বের করেন। অনেক চেষ্টা সত্ত্বেও ২০১৬ সাল পর্যন্ত শুধু কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্রে তাদের এই অনুমানকে সঠিক প্রমাণ করা গেছে। এমনকি বক্ররেখার একটি নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কিছুই প্রমাণ করা যায়নি।

বাতাসে ধাক্কা দিয়ে একটি জেট বিমান ছুটে চলে, আবার পানিতে ঘূর্ণি তুলে নৌকা-লঞ্চ ইত্যাদি সামনে এগিয়ে চলে। বিমান বা কোনো জলযানের জন্য ইঞ্জিন তৈরি করতে হলে বা নক্ষত্রের প্লাজমার প্রবাহ ব্যাখ্যা করতে হলে বিজ্ঞানীদের ফ্লুইডের (গ্যাস, তরল ও প্লাজমা) আচরণ ব্যাখ্যা করতে হয়। পদার্থবিজ্ঞানী ও গণিতবিদেরা মনে করেন, সেই ১৯ শতকে লেখা নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের সমাধান থেকেই ফ্লুইডের সব ধরনের আচরণ ব্যাখ্যা করা যাবে। বিজ্ঞানীরা বিভিন্ন বাস্তব সমস্যায় এই সমীকরণকে রীতিমতো কাজেও লাগান। কিন্তু তাহলে কী হবে, এই সমীকরণগুলোর তাত্ত্বিক বিশ্লেষণ সম্পর্কে আমরা খুবই কম জানি। এমনকি এই সমীকরণগুলোর একদম প্রাথমিক বৈশিষ্ট্যগুলোকেও প্রমাণ করা সম্ভব হয়নি। বিজ্ঞানীরা এখনো প্রমাণ করতে পারেননি যে যদি কোনো ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্য আমরা একগুচ্ছ প্রাথমিক শর্ত দিয়ে দিই তবে সব সময় সমীকরণগুলোর কোনো মসৃণ সমাধান পাওয়া যাবে কি না, আর পাওয়া গেলে সেগুলো প্রতি একক ভরের শক্তি সীমাবদ্ধ করে। এই সমীকরণ প্রমাণ করা গেলে ও পূর্ণ তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা পাওয়া গেলে পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলবিদ্যার বিভিন্ন শাখায় কিছু গুরুত্বপূর্ণ উন্নতি সম্ভব হবে।

নিউটন ও আইনস্টাইনের তত্ত্বের সাহায্যে বিজ্ঞানীরা রকেট উেক্ষপণ থেকে শুরু করে গ্রহ-নক্ষত্রের আচরণ পর্যন্ত ব্যাখ্যা করতে পারেন। কিন্তু পরমাণুর থেকে লক্ষ গুণ ক্ষুদ্র কোয়ান্টাম কণিকাদের ক্ষেত্রে এসব নিয়মের কোনোটিই চলে না। ফলে পরমাণুর ভেতরে ইলেকট্রন-প্রোটনের মতো কণিকারা কেমন আচরণ করে, তা জানতে আবির্ভাব হয় কোয়ান্টাম বলবিদ্যার (মেকানিকস)। প্রায় অর্ধশতাব্দী আগে চেন নিং ইয়াং ও রবার্ট মিলস কোয়ান্টাম বলবিদ্যাকে এমন একটি কাঠামোর সঙ্গে পরিচিত করে দেন, যা বেশির ভাগ কোয়ান্টাম (ক্ষুদ্র) কণিকার আচরণ ব্যাখ্যা করতে পারে।

এ কাঠামোতে তাঁরা এমন কিছু গঠন ব্যবহার করেন, যা পদার্থবিজ্ঞানের পাশাপাশি জ্যামিতিতেও কার্যকর। এই তত্ত্ব সঠিকভাবে প্রয়োগ করে নিউক্লিয়ার বলগুলোকে ব্যাখ্যা করতে গেলে mass gap নামে একটি কোয়ান্টাম মেকানিক্যাল বৈশিষ্ট্যের সাহায্য নিতে হয়। সেখানে দেখা যায় যে আলোর গতিতে ভ্রমণকারী কোনো কণিকারও ধনাত্মক ভর থাকতে পারে। কণিকাদের এই কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্য পরীক্ষার সাহায্যে পাওয়া গেছে আর কম্পিউটার সিমুলেশন করে নিশ্চিতও করা হয়েছে।

কিন্তু তাত্ত্বিক দিক থেকে এর কোনো ব্যাখ্যাই এখনো আমাদের জানা নেই। গণিতবিদ ও পদার্থবিদেরা মনে করেন, সম্পূর্ণ মৌলিক কোনো ধারণা থেকে এর তত্ত্বীয় ব্যাখ্যা পাওয়া যাবে। কিন্তু কবে তা কেউ জানে না।

ওপরের সমস্যাগুলো সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে চাইলে উইকিপিডিয়াতে খোঁজ করে দেখতে পারো। ঠিকানা https://goo.gl/x4nz7R। আর এ সমস্যাগুলো নিয়ে কাজ করতে চাইলে http://www.claymath.org/ -এই সাইটে সমস্ত নির্দেশনা পাবে। সমস্যা ও পুরস্কারসংক্রান্ত কোনো বিষয়ে জানতে চাইলে [email protected] এই মেইলের মাধ্যমে তোমার সব প্রশ্নের উত্তর পেতে পারো।

সূত্র: ক্লেম্যাথ ডট ওআরজি

(কিশোর আলোর আগস্ট ২০১৬ সংখ্যায় প্রকাশিত)