গণিতের ভাইরাল সমস্যা

২০১৬ সালে সামাজিক যোগাযোগ মাধ্যমে একটা গাণিতিক সমস্যা বেশ সাড়া ফেলেছিল। সমস্যাটি খুব সহজ, শুধু যোগের কাজ। কিন্তু তবুও ১ হাজার জনের মধ্যে নাকি মাত্র একজন এর সমাধান করতে পারত। শুরুতে সমস্যাটি দেখাই। সমাধান নিয়ে পরে আলোচনা করা যাবে। প্রশ্নটি হলো: 

১ + ৪ = ৫

২ + ৫ = ১২

৩ + ৬ = ২১

৮ + ১১ = ?

অর্থাৎ, ১ ও ৪ যোগ করলে যদি ৫ হয়, ২ ও ৫ যোগ করে যদি ১২ হয় এবং ৩ ও ৬ যোগ করে ২১ হলে ৮ ও ১১-এর যোগফল কত হবে? এটাই প্রশ্ন। এখন হিসেব করে উত্তর দাও। 

এখানে একটু জানিয়ে রাখি, ২০১৬ সালে এই সমস্যাটি সামাজিক যোগাযোগ মাধ্যমে পোস্ট করা হলে প্রায় ৩০ লাখ মানুষ এতে কমেন্ট করে। কিন্তু সবাই একটা নির্দিষ্ট উত্তরে পৌঁছাতে পারেনি। এবার চলো, আমরা এটা সমাধান করার চেষ্টা করি। 

একদম শুরুতে সমীকরণটা দেওয়া আছে, ১ + ৪ = ৫। এটা যেভাবেই ভাবো না কেন সত্যি। কারণ, ১ ও ৪ যোগ করলে ৫ ব্যাতিত আর কিছু হয় না। কিন্তু দ্বিতীয় ও তৃতীয় সমীকরণ মিথ্যা। ২ + ৫ = ১২ ও ৩ + ৬ = ২১ ঠিক নেই। সহজভাবে সমাধান করলে ২ + ৫ = ৭ এবং ৩ + ৬ = ৯ হওয়ার কথা, আর ৮ + ১১ = ১৯ হবে। কিন্তু বুঝতেই পারছ, এটা সহজভাবে সমাধান করা হয়নি। তাই সাধারণ যোগ করলে এখানে চলবে না, বরং প্যাটার্ন খুঁজে বের করতে হবে। 

এখানে একটা সূত্রে ফেলে আমরা সমাধান করতে পারি। সূত্রটি হলো a + b মানে a + ab। এই সূত্রের মানে হলো, ১ + ৪ মানে ১ + (১ × ৪)। অর্থাৎ ১ + (১ × ৪) = ৫। এটার মানে হলো, যে দুটি অঙ্ক যোগ করবে, তাঁর দ্বিতীয়টি প্রথমটির সঙ্গে গুণ করে আবার প্রথম সংখ্যার সঙ্গে যোগ করতে হবে। 

বিষয়টা হয়তো একটু জটিল হয়ে যাচ্ছে তোমাদের জন্য। সহজভাবে বলার চেষ্টা করি। ধরো, দ্বিতীয় সমীকরণ ছিল ২ + ৫ = ৭। এখানে ২ হলো প্রথম অঙ্ক এবং ৫ হলো দ্বিতীয় অঙ্ক। তাহলে ২-এর সঙ্গে ৫ গুণ করে আবার প্রথম অঙ্ক ২ যোগ করব। অর্থাৎ, ২ + (২ × ৫) = ১২। এবার কিন্তু সমীকরণ ঠিক আছে। একইভাবে তৃতীয় সমীকরণ হবে ৩ + (৩ × ৬) = ২১। দেখো, এই সূত্র অনুসারে আমাদের প্রথম তিনটি সমীকরণই ঠিক আছে। তাহলে শেষ সমীকরণটি মানে ৮ + ১১ সমান হবে ৮ + (৮ × ১১) = ৯৬। অর্থাৎ আমরা উত্তর পাচ্ছি ৯৬। তুমিও কি এই একই উত্তর পেয়েছ? বলতেই হবে যে তুমি গণিতে দক্ষ। 

এবার ভাবতে পারো, এটা তো আমিই সমাধান করে ফেললাম, তাহলে ৩০ লাখ মানুষ মিলে কী করল? আর হাজারে মাত্র একজন কেন এর সমাধান করতে পারল? এ প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার আগে বলে নিই, এই সমীকরণের আরেকটা সমাধান আছে। সেটাও কোনো ভুল নেই। আগে সেই সমাধানটা দেখে নিই। 

এটা বরং আগেরটার চেয়ে সহজ! ১ + ৪ = ৫। পরের সমীকরণে এই ৫ আগে যোগ করতে হবে। অর্থাৎ, ৫ + ২ + ৫ = ১২, এরপর আবার ১২ + ৩ + ৬ = ২১। তাহলে পরের সমীকরণে ২১ + ৮ + ১১ = ৪০। অর্থাৎ, উত্তর হলো ৪০। অনেকের মতে এই উত্তরটা বেশি উপযোগী। 

এখন প্রশ্ন হলো, তুমি উত্তর হিসেবে কোনটা বলবে—৯৬ নাকি ৪০? এক সমস্যার তো দুটি উত্তর হয় না। তাহলে উপায়?

দ্বিতীয়বার যেভাবে সমস্যাটা সমাধান করলাম, সেখানে কিন্তু একটা প্যাটার্ন আছে। ১ + ৪ = ৫, ২ + ৫ = ১২, ৩ + ৬ = ২১, ৮ + ১১ = ? খেয়াল করলে দেখবে, সবগুলো সমীকরণের প্রথম অঙ্কটা যথাক্রমে ১, ২ ও ৩ দিয়ে শুরু হয়েছে। তারপর ৪, ৫, ৬ ও ৭ না দিয়ে সরাসরি চলে যাওয়া হয়েছে ৮-এ। তাহলে এখন আমরা পর্যায়ক্রমে এগুলোর মান বের করে দেখব, কত হয়। আবার প্রথম থেকে শুরু করি।  

১ + ৪ = ৫

৫ + ২ + ৫ = ১২

১২ + ৩ + ৬ = ২১

২১ + ৪ + ৭ = ৩২

৩২ + ৫ + ৮ = ৪৫

৪৫ + ৬ + ৯ = ৬০ 

৬০ + ৭ + ১০ = ৭৭

৭৭ + ৮ + ১১ = ৯৬ 

আমরা আবার একবার উত্তর পেলাম ৯৬। আগে ভিন্ন নিয়মে সমাধান করেও একই উত্তর পেয়েছি। বিষয়টা ইন্টারেস্টিং বটে!

সবশেষে, এই সমস্যার সমাধান কি? উত্তর দেওয়া কঠিন। তবে ৯৬ উত্তর হিসেবে বেশি উপযুক্ত। কারণ, যে নিয়মে আমরা উত্তর ৪০ পেয়েছি, সেই নিয়মে প্যাটার্ন ধরে ঠিকভাবে এগোলেও উত্তর ৯৬ পাওয়া যায়। তাই উত্তর হিসেবে ৯৬-কে ঠিক বলা যায়। তবে ৪০ উত্তরটাও কিন্তু ভুল নয়!